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Article sur le nombre pi
mercredi 19 mai
Tout ce que vous devez savoir sur le nombre le plus énigmatique du monde mathématique. Bonne lecture !
 
Sur le Web : Lien vers l’article
Un article très intéressant sur Euclide
mercredi 17 mars
Vous trouverez dans cet article, dont le lien se trouve ci-dessous, des informations très intéressantes sur Euclide : ce que l’on sait et ce que l’on ne sait pas (encore !). Il est fascinant de voir que, plus de 2000 ans après, les recherches continuent sur celui qui avait regroupé toute la connaissance mathématique de son époque dans ses célèbres Éléments !
 
Erratum - Cryptologie (le retour...)
samedi 14 juin
Encore une petite coquille réparée dans l’article César & Co de la rubrique Cryptologie. Merci à Marion JABLONKA qui a décelé cette erreur gênante :)
 
Erratum - Cryptologie
samedi 17 mai
Une double erreur s’était glissée dans l’article "César & Co" de la rubrique Cryptologie : deux y s’étaient changés en x sans mon autorisation ! L’erreur est maintenant réparée. Bonne lecture !
 
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Les solides de Platon
mardi 1er avril 2008
par M. Carbon
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« La justice de l’intelligence est la sagesse. Le sage n’est pas celui qui sait beaucoup de choses, mais celui qui voit leur juste mesure. »

Platon.

Platon par le peintre Raphaël

Platon :

Grec, né en -428, mort en -348 (environ).

Philosophe, ami et disciple de Socrate, Aristoclès, dit Platon (le large) est d’abord poète, dramaturge et politicien. C’est Théodore de Cyrène qui lui enseigne les mathématiques. Il vit au moment de la décadence athénienne. Athènes est affaiblie par la guerre du Péloponnèse et les nombreuses autres guerres qui opposent les cités grecques entre elles. Son autonomie est menacée, notamment par le roi Philippe de Macédoine, et la démocratie est en crise. Platon veut sauver Athènes en lui enseignant la philosophie et la vertu. Il fonde vers -377 près d’Athènes, dans les jardins d’Akadêmos, une école de la philosophie et des sciences, "l’Académie", où il deviendra le précepteur d’Aristote et sur le fronton de laquelle il fait inscrire :

« Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre »

Cette école dominera pendant un siècle toute la vie intellectuelle de la cité. Elle perdurera encore neuf siècles, jusqu’en 529, date de sa fermeture par l’empereur chrétien Justinien, qui juge ses idées païennes intolérables. C’est à l’époque et dans l’entourage de Platon qu’apparaissent les premiers éléments de géométrie.

Les 5 solides de Platon

Un polyèdre régulier est inscriptible dans une sphère et toutes ses faces sont des polygones réguliers isométriques (Un polygone régulier a tous ses côtés isométriques et tous ses angles sont de même mesure).

Euclide termina son oeuvre Les Eléments en prouvant qu’il existe exactement 5 polyèdres convexes réguliers : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Ces solides sont appelés communément solides de Platon en raison de ses travaux. Les grecs ont accordé une signification mystique aux cinq solides réguliers en les rattachant aux grandes entités qui selon eux façonnaient le monde : le feu est associé au tétraèdre, l’air à l’octaèdre, la terre au cube, l’univers au dodécaèdre et l’eau à l’icosaèdre.

Le tétraèdre Il est composé de 4 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 4 sommets et 6 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole du feu.

L’hexaèdre, ou cube Il est composé de 6 faces qui sont des carrés. Il a 8 sommets et 12 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de la Terre.

L’octaèdre Il est composé de 8 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 6 sommets et 12 arêtes. Il a 4 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l’air.

Le dodécaèdre Il est composé de 12 faces qui sont des pentagones réguliers. Il a 20 sommets et 30 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l’Univers.

L’icosaèdre Il est composé de 20 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 12 sommets et 30 arêtes. Il a 5 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l’eau.

Formule d’Euler

Nous pouvons vérifier pour chaque solide de Platon la formule d’Euler obtenue avec le nombre F de faces, A d’arêtes et S de sommets :

F + S - A = 2

Dual d’un polyèdre

On appelle polyèdre dual d’un polyèdre régulier P le polyèdre P’ dont les sommets sont les centres des faces du polyèdre P. Si P’ est le dual de P, alors le dual de P’ est semblable à P.

Le tétraèdre est son propre dual.

Le dual du cube est l’octaèdre, composé de 8 faces et de 6 sommets.

Le dual de l’octaèdre est le cube, composé de 6 faces et de 8 sommets.

Le dual du dodécaèdre est l’icosaèdre, composé de 20 faces et de 12 sommets.

Le dual de l’icosaèdre est le dodécaèdre, composé de 12 faces et de 20 sommets.

 
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