« La justice de l’intelligence est la sagesse. Le sage n’est pas celui qui sait beaucoup de choses, mais celui qui voit leur juste mesure. »
Platon.
Grec, né en -428, mort en -348 (environ).
Philosophe, ami et disciple de Socrate, Aristoclès, dit Platon (le large) est d’abord poète, dramaturge et politicien. C’est Théodore de Cyrène qui lui enseigne les mathématiques. Il vit au moment de la décadence athénienne. Athènes est affaiblie par la guerre du Péloponnèse et les nombreuses autres guerres qui opposent les cités grecques entre elles. Son autonomie est menacée, notamment par le roi Philippe de Macédoine, et la démocratie est en crise. Platon veut sauver Athènes en lui enseignant la philosophie et la vertu. Il fonde vers -377 près d’Athènes, dans les jardins d’Akadêmos, une école de la philosophie et des sciences, "l’Académie", où il deviendra le précepteur d’Aristote et sur le fronton de laquelle il fait inscrire :
« Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre »
Cette école dominera pendant un siècle toute la vie intellectuelle de la cité. Elle perdurera encore neuf siècles, jusqu’en 529, date de sa fermeture par l’empereur chrétien Justinien, qui juge ses idées païennes intolérables. C’est à l’époque et dans l’entourage de Platon qu’apparaissent les premiers éléments de géométrie.
Un polyèdre régulier est inscriptible dans une sphère et toutes ses faces sont des polygones réguliers isométriques (Un polygone régulier a tous ses côtés isométriques et tous ses angles sont de même mesure).
Euclide termina son oeuvre Les Eléments en prouvant qu’il existe exactement 5 polyèdres convexes réguliers : le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Ces solides sont appelés communément solides de Platon en raison de ses travaux. Les grecs ont accordé une signification mystique aux cinq solides réguliers en les rattachant aux grandes entités qui selon eux façonnaient le monde : le feu est associé au tétraèdre, l’air à l’octaèdre, la terre au cube, l’univers au dodécaèdre et l’eau à l’icosaèdre.
Le tétraèdre Il est composé de 4 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 4 sommets et 6 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole du feu.
L’hexaèdre, ou cube Il est composé de 6 faces qui sont des carrés. Il a 8 sommets et 12 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de la Terre.
L’octaèdre Il est composé de 8 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 6 sommets et 12 arêtes. Il a 4 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l’air.
Le dodécaèdre Il est composé de 12 faces qui sont des pentagones réguliers. Il a 20 sommets et 30 arêtes. Il a 3 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l’Univers.
L’icosaèdre Il est composé de 20 faces qui sont des triangles équilatéraux. Il a 12 sommets et 30 arêtes. Il a 5 arêtes en chacun des sommets. Chez les grecs, il était le symbole de l’eau.
Nous pouvons vérifier pour chaque solide de Platon la formule d’Euler obtenue avec le nombre F de faces, A d’arêtes et S de sommets :
F + S - A = 2
On appelle polyèdre dual d’un polyèdre régulier P le polyèdre P’ dont les sommets sont les centres des faces du polyèdre P. Si P’ est le dual de P, alors le dual de P’ est semblable à P.
Le tétraèdre est son propre dual.
Le dual du cube est l’octaèdre, composé de 8 faces et de 6 sommets.
Le dual de l’octaèdre est le cube, composé de 6 faces et de 8 sommets.
Le dual du dodécaèdre est l’icosaèdre, composé de 20 faces et de 12 sommets.
Le dual de l’icosaèdre est le dodécaèdre, composé de 12 faces et de 20 sommets.